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Polynomfunktion vierten Grades
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Aufgabenstellung
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Dokumentnummer: D1089
Quelle: Prüfungsdatenbank
             Mecklenburg-Vor-
             pommern, LK 2000
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Der Graph einer ganzrationalen Funktion f mit der Gleichung
y = f(x) = a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e besitzt die lokalen Extremwerte
E1, E2, E3 und an der Stelle x = 0 eine Tangente t mit der Gleichung
y = 4*x + 5. Gegeben sind E1(-1,1) und E2(2,f(2)).

4.1  Berechnen Sie die Koeffizienten a, b, c, d, e mit Hilfe obiger
        Bedingungen.

4.2  Bestimmen Sie die Koordinaten von E3 und die aller Wendepunkte
       des Graphen von f .
       Begründen Sie, dass die Funktion f keine Nullstellen hat.
       Stellen Sie f grafisch dar.

4.3  Der Graph von f und die Gerade durch die Minimumpunkte begrenzen
       eine Fläche vollständig.
       Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.

4.4  Die Gerade y = 5 schneidet den Graphen von f aus in P1(0,5 und P2(1,5)
       in zwei weiteren Punkten.
       Berechnen Sie die Abszissen dieser beiden Punkte.
   [wxMaxima: comment end   ] */

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Lösung
   [wxMaxima: section end   ] */

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g(x,y):=y=a*x**4+b*x**3+c*x**2+d*x+e;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

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f(x):=''rhs(g(x,y));
/* [wxMaxima: input   end   ] */

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Es gibt drei Extremwerte E1(-1,1), E2(2,f(2)), E3
   [wxMaxima: comment end   ] */

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g1:g(-1,1);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
ab:diff(f(x),x);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
g3:ab=0,x=-1;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
g4:ab=0,x=2;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

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Für x=0 gibt es eine Tangente y = 4x + 5
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
g2:ab=4,x=0;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
g5:g(0,5);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
l:solve([g1,g2,g3,g4,g5],[a,b,c,d,e]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
g(x,y),l[1];
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Bestimmen Sie die Koordinaten von E3
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
f:f(x),l[1];
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
f;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
h(x):=''f;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
ab:diff(h(x),x);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
l:solve(ab=0,x);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
h(1/2);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
E3:[1/2,h(1/2)];
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Es gibt keine Nullstellen:
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
l:realroots(h(x)=0);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Grafische Darstellung der Funktion
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
wxplot2d([h(x)], [x,-5,5])$
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Bestimmung der Wendepunkte
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
ab2:diff(h(x),x,2);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
l:realroots(ab2=0);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
l:l,numer;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
x1:x,l[1];
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
x2:x,l[2];
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
y1:h(x1);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
y2:h(x2);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Maxima oder Minima?
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
ab2,x=-1;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
ab2,x=1/2;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
ab2,x=2;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Flächenberechnung
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
g(x,y):=y=k*x+d;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
g1:g(-1,1);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
h(2);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
g2:g(2,1);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
solve([g1,g2],[k,d]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
f:-2*3+integrate(h(x),x,-1,2);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
flaeche:f,numer;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Die Gerade y=5 schneidet in weiteren zwei Punkte. Berechnen Sie
die Abszissen.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
l:realroots(h(x)=5);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
l:l,numer;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
a1:l[1];
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
a2:l[3];
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* Maxima can't load/batch files which end with a comment! */
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